2022年省考：容斥问题之三者容斥

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三者容斥就是研究三个集合间交叉关系的一类问题，如图所示：

图中A、B、C分别表示三个集合，而M表示不属于三个集合的部分。此时我们不难发现，全集I就是由A、B、C以及M四个集合加和构成的，只是在加和的过程中，会被重复计算，因此需要将多算的这些减掉，在这过程中，被连续减掉了三次，需要再把它加回来，由此可得三者容斥的核心公式公式看起来比较麻烦，但在实际应用中只需要直接代数即可。

例1、某单位员工中有45人订阅A刊，有49人订阅B刊，有58人订阅C刊，有16人订阅了A刊和B刊，有23人订阅了B刊和C刊，有21人订阅了A刊和C刊。有10人同时订阅了这三种刊物。该单位至少订阅一种刊物的人数是：

【解析】这道题目的题干特征最为明显，直接告诉了我们三个集合的具体数据，以及的具体数字，然而我们求解的是“至少订阅了一种刊物”的人数，那么什么叫做至少订阅一种刊物呢?也就是说订阅一种、两种或三种刊物都可以，也就是订了就行，换言之，这道题目需要求解的其实就是全集I的大小，已知三个集合和集合交集，直接代入公式因为题目当中未表明有人没有订阅，因此未订阅的人数M就为0，故直接代入解得I=102，故本题选择C。

除了上述公式外，三者容斥还存在第二种类型，它不具备如此明显的集合间交集的数据，它的表述通常为“同时属于两者的”、“三者都满足的”等方式，此时题目当中找不到有关于两两交集的数据，只能找到同时属于两个集合的数据的总和，因此就要求我们对于全集I重新划分，如图所示：

其中1,2,3这三个部分只属于一个集合，我们就说他们分别只具备一种属性，用a来表示，4,5,6这三个部分同时属于两个集合，也就是分别具备两种属性，用b来表示，7这部分同时属于三个集合，即同时具备三种属性，用c来表示，而不属于任何一个集合的8则不具备任何属性，我们用d来表示。通过重新划分，我们发现，全集还可以由只具备一种属性的数据、同时具备两种属性的数据、具有三种属性的数据以及不具备任何属性的数据之和共同构成，所以又可以写成而集合A、B、C的加和又可以表述为两式联立就得到：。通常这类题目的呈现方式如下：

例2、某研究中心就消费者对红、黄、蓝三种颜色的偏好情况进行市场调查，共抽取了40名消费者，发现其中有20人喜欢红色、20人喜欢黄色、15人喜欢蓝色，至少喜欢两种颜色的有19人，喜欢三种颜色的有3人，问三种颜色都不喜欢的有几人?

【解析】这道题目中，我们虽然能够明显看出它也是三者容斥问题，但是题目当中却找不到两两之间的交集描述，而是给到了“至少喜欢两种颜色”以及“喜欢三种颜色”这两种描述，也就是说这只能表示同时属于两个集合和三个集合的数据数量，具体是哪两个集合，不得而知，因此只能利用属性间关系求解，这时考虑利用

解题。通过分析发现“至少两种”包含了“两种”以及“三种”两个概念，也就是具有两种和三种属性，对应公式中的

直接代入公式解得d=7，因此这道题选择D。

通过以上两道题目，我们不难发现，容斥问题本身难度并不是很大，只要找到题目中数据描述的特点，对应正确的公式，就会很容易解决。因此，在考试当中，如果遇见容斥问题，大家一定要牢牢把握住不要失分哦。

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（编辑：潜江华图）