2022年省考：均值不等式巧解利润最值问题

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　均值不等式的一种表达形式如下，

　　如果a、b均为非负实数，那么当且仅当a=b时，等号成立。

　　由上述表达式，我们可以得到如下结论：已知a、b均为正数，若a+b为定值，则当且仅当a=b时，ab取得最大值。

　　示例：已知x>0，y>0，且2x+5y=20，则xy的最大值是多少?

　　在这道题目中，2x相当于a，5y相当于b，则a+b=20，是定值，所以当且仅当a=b，即2x=5y时，2x×5y存在最大值，因为2x=5y且加和等于20，所以2x=5y=10，求出2x×5y=10xy=100，即xy最大值为10。

　　例1、某商场销售一批名牌衬衫平均每天可售出20件，每件盈利40元。为了扩大销售增加盈利尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，每件衬衫降低( )元时，商场每天盈利最多。

　　A.12 B.15 C.20 D.25

　　答案选B。接下来通过本题的解析我们梳理此类题目的解题思路：

　　(1)找等量关系，列方程。

　　本题所求为利润最值问题，结合条件可以得出等量关系：总利润=单件利润×销量。分析可得如果售价下降1元在成本不变的情况下利润即下降1元，同时销量会增加2件，这道题可以设每件衬衫的售价下降了x元，商场的总利润为y元，那么可列出方程y=(40-x)×(20+2x)。

　　(2)凑配定和，求极值。

　　y=(40-x)×(20+2x)，由前面学习的均值不等式的结论可知，要想求两部分乘积的最大值，需要这两部分的加和为定值，而我们会发现40-x和20+2x的加和并不是常数，所以不为定值，那么就需要未知数在加和后抵消掉，则可将方程变形为y=2×(40-x)×(10+x)，此时40-x与10+x的和为定值，所以当且仅当40-x=10+x，即x=15时，y存在最大值，答案为B。

　　例2、某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，问房价为多少元时宾馆利润最大?

　　A.260 B.280 C.300 D.340

　　【答案】D。解析：总收入最多则利润最大，所以需要求出总收入的最大值，通过题干条件可得等量关系为：总收入=房间单价×入住房间数量，房价增加会使入住房间数减少，此时可设房价增加了x个10元，总收入为y元，可得y=(180+10x)×(50-x)，想求两个部分乘积的最大值，需要使两部分加和为定值，可将方程变形为y=10×(18+x)×(50-x)，当且仅当18+x=50-x，即x=16时，y取最大值，此时每个房间的价格为180+10×16=340元，故答案为D。

　　通过上述例题我们可以发现，利润最值问题采用均值不等式的思想来求解是非常简单的，希望同学们能够多看几遍，充分吸收，做到熟能生巧、举一反三。

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（编辑：潜江华图）